九章算術(shù)提要
作者：古本晉劉徽注九章算術(shù)九卷，不詳作者名氏。九章算術(shù)是一部現(xiàn)在有傳本的、最古老的中國(guó)數(shù)學(xué)書，它的編纂年代大約是在東漢初期。書中？集了二百四十六個(gè)應(yīng)用問題的解法，分別隸屬於方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程、句股九章。
春秋、戰(zhàn)國(guó)時(shí)期社會(huì)生產(chǎn)力的逐漸提高，促進(jìn)了數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算技能的發(fā)展。當(dāng)時(shí)各國(guó)的統(tǒng)治階級(jí)要按畝收稅，必須有測(cè)量土地、計(jì)算面積的方法；要儲(chǔ)備糧食，必須有計(jì)算倉(cāng)庫(kù)容積的方法；要修建灌溉渠道、治河堤防和其他土木工事，必須能計(jì)算工程人功；要修訂一個(gè)適合農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的歷法，必須能運(yùn)\用有關(guān)的天文數(shù)據(jù)。那時(shí)的百姓掌握了相當(dāng)豐富的、由日常生活中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算技能。雖然沒有一本先秦的數(shù)學(xué)書流傳到后世，但無(wú)可懷疑的是九章算術(shù)方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功等章中的題解方法，絕大部分是產(chǎn)生於秦以前的。漢書藝文志術(shù)數(shù)類著錄有許商算術(shù)二十六卷，杜忠算術(shù)十六卷，這兩部算術(shù)雖早已失傳，應(yīng)該是東漢初編纂的九章算術(shù)的前身，它們的主要教材應(yīng)當(dāng)被保存於九章算術(shù)各章之內(nèi)。
周禮大司徒篇說(shuō)：「保氏掌諫王惡而養(yǎng)國(guó)子以道。乃教之六藝：一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五馭，五曰六書，六曰九數(shù)?！惯@是說(shuō)，主持貴族子弟教育的保氏以禮、樂、射、馭、書、數(shù)為「小學(xué)」的六門課程，每一門課程又各有若干細(xì)目，例如「數(shù)」學(xué)中有九個(gè)細(xì)目。但在周禮裏沒有把「九數(shù)」列舉出來(lái)，我們就無(wú)法考證它的內(nèi)容。漢武帝時(shí)這部周禮開始受到經(jīng)學(xué)家的注意。到東漢時(shí)期，鄭眾、馬融等都為「九數(shù)」作了注解。東漢末鄭玄周禮注引鄭眾說(shuō)：「九數(shù)：方田、粟米、差分、少?gòu)V、商功、均輸、方程、贏不足、旁要，今有重差、句股?！故聦?shí)上，鄭眾所說(shuō)「九數(shù)」中的「均輸」已是漢武帝太初元年以后的賦稅制度，決不是周禮九數(shù)原有的一個(gè)細(xì)目?！阜教?、粟米、差分、少?gòu)V、商功、均輸、方程、贏不足、旁要」大概是西漢末傳統(tǒng)算術(shù)的主要綱目，「今有重差、句股」說(shuō)明數(shù)學(xué)有了新的發(fā)展。傳本九章算術(shù)將句股代替旁要，它的編纂年代當(dāng)在鄭眾注周禮「九數(shù)」（約公元五０年）之后。后漢書馬援傳說(shuō)，馬續(xù)「善九章算術(shù)」。馬續(xù)是馬援的侄孫，馬融（公元七九——一六六年）之兄，他的生年約在公元七０年前后。馬續(xù)研究九章算術(shù)大概在公元九０年前后。根據(jù)上述史料，我們認(rèn)為九章算術(shù)的編定年代是在公元第一世紀(jì)的后半個(gè)世紀(jì)，而各章的主要內(nèi)容在第一世紀(jì)初期已具備了一定的成就。
九章算術(shù)不但對(duì)后世的數(shù)學(xué)著作奠定了優(yōu)良的傳統(tǒng)，對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展也有著重要的貢獻(xiàn)?，F(xiàn)在小學(xué)算術(shù)課程中的分?jǐn)?shù)四則，各種比例，面積和體積，以及各類應(yīng)用問題的解法，在九章算術(shù)方田、粟米、衰分、商功、均輸、盈不足等章裏已有了相當(dāng)詳備的內(nèi)容?，F(xiàn)在中學(xué)課程中的代數(shù)部分，如開平方、開立方、正負(fù)數(shù)、聯(lián)立一次方程組、二次方程等項(xiàng)目，在少?gòu)V、方程、句股章裏亦已有了卓越的成就。
傳本九章算術(shù)有劉徽注和唐李淳風(fēng)等的注釋。劉徽是我國(guó)古代杰出的數(shù)學(xué)家。他為九章算術(shù)作注解，又自撰重差一卷附於九章算術(shù)九卷之后，故隋書經(jīng)籍志著錄「九章算術(shù)十卷，劉徽撰」。經(jīng)籍志又錄有「九章重差圖一卷，劉徽撰」，當(dāng)是十卷本的附圖，可惜早已亡佚。九章算術(shù)方田章圓田術(shù)注和商功章圓困術(shù)注中都論及「晉武庫(kù)中有漢時(shí)王莽所作銅斛」。隋書律歷志論歷代量制引商功章注，說(shuō)「魏陳留王景元四年（公元二六三年）劉徽注九章」。我們根據(jù)這些資料，認(rèn)為劉徽是魏、晉時(shí)人。他的生平履歷無(wú)可詳考。
劉徽九章算術(shù)注自序說(shuō)：「又所析理以辭，解體用圖。庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過(guò)半矣?！惯@是說(shuō)，問題解法的理論分析，要用明確的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)；空間形體的具體分解，要用幾何圖形顯示出來(lái)。這樣纔能做到又簡(jiǎn)又明，啟發(fā)讀者的思考。他在注中一方面整理九章算術(shù)各個(gè)問題的解法，理論上屬於一類的使它們歸於一類，提綱挈領(lǐng)地闡明所以能解的道理。在另一方面，對(duì)於原來(lái)所有不夠準(zhǔn)確的近似計(jì)算，他提出了更精確的計(jì)算方法。例如九章算術(shù)原術(shù)取用三為圓周率，他通過(guò)了圓內(nèi)接正三百八十四邊形和正三千零七十二邊形面積的嚴(yán)密計(jì)算，得到圓周率的近似值，五十分之一百五十七，或一千二百五十分之三千九百二十七。又如開平方或開立方不盡時(shí)（平方根或立方根為無(wú)理數(shù)），原有以分?jǐn)?shù)表示奇零部分的方法不甚準(zhǔn)確，他主張繼續(xù)開方，得出以十進(jìn)分?jǐn)?shù)表示平方根或立方根的近似值。此外，他創(chuàng)立許多新的解題方法，例如盈不足章第十九題的等差級(jí)數(shù)求和法，方程章第七題的互乘相消法，第九題的消去常數(shù)項(xiàng)法，句股章第十六題的內(nèi)切圓徑公式等等，都比原術(shù)簡(jiǎn)便。
唐李淳風(fēng)等對(duì)劉徽注本九章算術(shù)作了一些解釋，原有劉注意義十分明確的不再補(bǔ)注，盈不足、方程二章就沒有他們的注釋。九章算術(shù)所有與圓面積有關(guān)的問題，都取圓周率三計(jì)算，劉徽注以為應(yīng)取五十分之一百五十七，李淳風(fēng)等補(bǔ)注認(rèn)為可以用七分之二十二計(jì)算，這是對(duì)的。但七分之二十二是祖沖之的所謂「約率」，而李淳風(fēng)等引用此率，稱它為「密率」。后世人誤認(rèn)七分之二十二為「密率」的很多，這是李注的謬種流傳。少?gòu)V章開立圓術(shù)，李淳風(fēng)等注釋引祖？之說(shuō)，介紹球體積公式的理論基礎(chǔ)。綴術(shù)書失傳后，祖沖之父子對(duì)於球體積的研究，幸有李淳風(fēng)等的征引而得流傳到現(xiàn)在。
劉、李注本九章算術(shù)到北宋仁宗時(shí)有賈憲所撰的細(xì)草，原書早已失傳，但永樂大典中保存楊輝所引的賈憲開方法是非常寶貴的數(shù)學(xué)史料。南宋末有楊輝詳解九章算法十二卷（一二六一），現(xiàn)在僅存商功、均輸、盈不足、方程、句股五章和「九章算法纂類」。楊輝鈔錄的九章算術(shù)本文和劉、李二家注文有很多脫誤，但也有可據(jù)以對(duì)校永樂大典本的文字。清嘉慶初年李潢撰九章算術(shù)細(xì)草圖說(shuō)九卷，有校勘、有補(bǔ)圖、有詳草、有說(shuō)明，發(fā)揮九章算術(shù)劉徽注的原意，對(duì)於讀者是大有裨益的。
春秋、戰(zhàn)國(guó)時(shí)期社會(huì)生產(chǎn)力的逐漸提高，促進(jìn)了數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算技能的發(fā)展。當(dāng)時(shí)各國(guó)的統(tǒng)治階級(jí)要按畝收稅，必須有測(cè)量土地、計(jì)算面積的方法；要儲(chǔ)備糧食，必須有計(jì)算倉(cāng)庫(kù)容積的方法；要修建灌溉渠道、治河堤防和其他土木工事，必須能計(jì)算工程人功；要修訂一個(gè)適合農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的歷法，必須能運(yùn)\用有關(guān)的天文數(shù)據(jù)。那時(shí)的百姓掌握了相當(dāng)豐富的、由日常生活中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算技能。雖然沒有一本先秦的數(shù)學(xué)書流傳到后世，但無(wú)可懷疑的是九章算術(shù)方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功等章中的題解方法，絕大部分是產(chǎn)生於秦以前的。漢書藝文志術(shù)數(shù)類著錄有許商算術(shù)二十六卷，杜忠算術(shù)十六卷，這兩部算術(shù)雖早已失傳，應(yīng)該是東漢初編纂的九章算術(shù)的前身，它們的主要教材應(yīng)當(dāng)被保存於九章算術(shù)各章之內(nèi)。
周禮大司徒篇說(shuō)：「保氏掌諫王惡而養(yǎng)國(guó)子以道。乃教之六藝：一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五馭，五曰六書，六曰九數(shù)?！惯@是說(shuō)，主持貴族子弟教育的保氏以禮、樂、射、馭、書、數(shù)為「小學(xué)」的六門課程，每一門課程又各有若干細(xì)目，例如「數(shù)」學(xué)中有九個(gè)細(xì)目。但在周禮裏沒有把「九數(shù)」列舉出來(lái)，我們就無(wú)法考證它的內(nèi)容。漢武帝時(shí)這部周禮開始受到經(jīng)學(xué)家的注意。到東漢時(shí)期，鄭眾、馬融等都為「九數(shù)」作了注解。東漢末鄭玄周禮注引鄭眾說(shuō)：「九數(shù)：方田、粟米、差分、少?gòu)V、商功、均輸、方程、贏不足、旁要，今有重差、句股?！故聦?shí)上，鄭眾所說(shuō)「九數(shù)」中的「均輸」已是漢武帝太初元年以后的賦稅制度，決不是周禮九數(shù)原有的一個(gè)細(xì)目?！阜教?、粟米、差分、少?gòu)V、商功、均輸、方程、贏不足、旁要」大概是西漢末傳統(tǒng)算術(shù)的主要綱目，「今有重差、句股」說(shuō)明數(shù)學(xué)有了新的發(fā)展。傳本九章算術(shù)將句股代替旁要，它的編纂年代當(dāng)在鄭眾注周禮「九數(shù)」（約公元五０年）之后。后漢書馬援傳說(shuō)，馬續(xù)「善九章算術(shù)」。馬續(xù)是馬援的侄孫，馬融（公元七九——一六六年）之兄，他的生年約在公元七０年前后。馬續(xù)研究九章算術(shù)大概在公元九０年前后。根據(jù)上述史料，我們認(rèn)為九章算術(shù)的編定年代是在公元第一世紀(jì)的后半個(gè)世紀(jì)，而各章的主要內(nèi)容在第一世紀(jì)初期已具備了一定的成就。
九章算術(shù)不但對(duì)后世的數(shù)學(xué)著作奠定了優(yōu)良的傳統(tǒng)，對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展也有著重要的貢獻(xiàn)?，F(xiàn)在小學(xué)算術(shù)課程中的分?jǐn)?shù)四則，各種比例，面積和體積，以及各類應(yīng)用問題的解法，在九章算術(shù)方田、粟米、衰分、商功、均輸、盈不足等章裏已有了相當(dāng)詳備的內(nèi)容?，F(xiàn)在中學(xué)課程中的代數(shù)部分，如開平方、開立方、正負(fù)數(shù)、聯(lián)立一次方程組、二次方程等項(xiàng)目，在少?gòu)V、方程、句股章裏亦已有了卓越的成就。
傳本九章算術(shù)有劉徽注和唐李淳風(fēng)等的注釋。劉徽是我國(guó)古代杰出的數(shù)學(xué)家。他為九章算術(shù)作注解，又自撰重差一卷附於九章算術(shù)九卷之后，故隋書經(jīng)籍志著錄「九章算術(shù)十卷，劉徽撰」。經(jīng)籍志又錄有「九章重差圖一卷，劉徽撰」，當(dāng)是十卷本的附圖，可惜早已亡佚。九章算術(shù)方田章圓田術(shù)注和商功章圓困術(shù)注中都論及「晉武庫(kù)中有漢時(shí)王莽所作銅斛」。隋書律歷志論歷代量制引商功章注，說(shuō)「魏陳留王景元四年（公元二六三年）劉徽注九章」。我們根據(jù)這些資料，認(rèn)為劉徽是魏、晉時(shí)人。他的生平履歷無(wú)可詳考。
劉徽九章算術(shù)注自序說(shuō)：「又所析理以辭，解體用圖。庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過(guò)半矣?！惯@是說(shuō)，問題解法的理論分析，要用明確的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)；空間形體的具體分解，要用幾何圖形顯示出來(lái)。這樣纔能做到又簡(jiǎn)又明，啟發(fā)讀者的思考。他在注中一方面整理九章算術(shù)各個(gè)問題的解法，理論上屬於一類的使它們歸於一類，提綱挈領(lǐng)地闡明所以能解的道理。在另一方面，對(duì)於原來(lái)所有不夠準(zhǔn)確的近似計(jì)算，他提出了更精確的計(jì)算方法。例如九章算術(shù)原術(shù)取用三為圓周率，他通過(guò)了圓內(nèi)接正三百八十四邊形和正三千零七十二邊形面積的嚴(yán)密計(jì)算，得到圓周率的近似值，五十分之一百五十七，或一千二百五十分之三千九百二十七。又如開平方或開立方不盡時(shí)（平方根或立方根為無(wú)理數(shù)），原有以分?jǐn)?shù)表示奇零部分的方法不甚準(zhǔn)確，他主張繼續(xù)開方，得出以十進(jìn)分?jǐn)?shù)表示平方根或立方根的近似值。此外，他創(chuàng)立許多新的解題方法，例如盈不足章第十九題的等差級(jí)數(shù)求和法，方程章第七題的互乘相消法，第九題的消去常數(shù)項(xiàng)法，句股章第十六題的內(nèi)切圓徑公式等等，都比原術(shù)簡(jiǎn)便。
唐李淳風(fēng)等對(duì)劉徽注本九章算術(shù)作了一些解釋，原有劉注意義十分明確的不再補(bǔ)注，盈不足、方程二章就沒有他們的注釋。九章算術(shù)所有與圓面積有關(guān)的問題，都取圓周率三計(jì)算，劉徽注以為應(yīng)取五十分之一百五十七，李淳風(fēng)等補(bǔ)注認(rèn)為可以用七分之二十二計(jì)算，這是對(duì)的。但七分之二十二是祖沖之的所謂「約率」，而李淳風(fēng)等引用此率，稱它為「密率」。后世人誤認(rèn)七分之二十二為「密率」的很多，這是李注的謬種流傳。少?gòu)V章開立圓術(shù)，李淳風(fēng)等注釋引祖？之說(shuō)，介紹球體積公式的理論基礎(chǔ)。綴術(shù)書失傳后，祖沖之父子對(duì)於球體積的研究，幸有李淳風(fēng)等的征引而得流傳到現(xiàn)在。
劉、李注本九章算術(shù)到北宋仁宗時(shí)有賈憲所撰的細(xì)草，原書早已失傳，但永樂大典中保存楊輝所引的賈憲開方法是非常寶貴的數(shù)學(xué)史料。南宋末有楊輝詳解九章算法十二卷（一二六一），現(xiàn)在僅存商功、均輸、盈不足、方程、句股五章和「九章算法纂類」。楊輝鈔錄的九章算術(shù)本文和劉、李二家注文有很多脫誤，但也有可據(jù)以對(duì)校永樂大典本的文字。清嘉慶初年李潢撰九章算術(shù)細(xì)草圖說(shuō)九卷，有校勘、有補(bǔ)圖、有詳草、有說(shuō)明，發(fā)揮九章算術(shù)劉徽注的原意，對(duì)於讀者是大有裨益的。